离婚双方不能都不要孩子抚养权，因为夫妻双方有共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务。父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。不满两周岁的以妈妈抚养为原则，已满2周岁的，双方协商。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
【本文关联的相关法律依据】
《中华人民共和国民法典》第一千零五十夫妻双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利，共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务。
第一千零八十四条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。